Matematica

Guia 5

Ejercicio 5:

$\displaystyle b) f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} a_n cos(\frac{n \pi x}{L})$

Incluyo el $a_0$ en la sumatoria, ya que cos(0)=1; premultiplico por $cos(\frac{m \pi x}{L})$ e integro en [0,L]

$\displaystyle \int_{0}^{L} cos(\frac{m \pi x}{L}) f(x) \, dx= \int_{0}^{L} \sum_{n=0}^{N} a_n cos(\frac{m \pi x}{L}) cos(\frac{n \pi x}{L}) \, dx$

Saco la sumatoria afuera de la integral;

$\displaystyle \int_{0}^{L} cos(\frac{m \pi x}{L}) f(x) \, dx= \sum_{n=0}^{N} a_n \int_{0}^{L} cos(\frac{m \pi x}{L}) cos(\frac{n \pi x}{L}) \, dx$

Primero que nada, se ve de la integral previa que cuando n=m=0, nos queda

$\displaystyle \int_{0}^{L} cos(0) f(x) \, dx= a_0 \int_{0}^{L} cos(0) cos(0) \, dx$

$\displaystyle \int_{0}^{L} f(x) \, dx= a_0 L$

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{L} \displaystyle \int_{0}^{L} f(x) \, dx$

Ahora, cuando m=n distinto de 0, por la fórmula de Green obtuve que la integral de la derecha es 2/L, y la sumatoria se anula en todos los términos,salvo cuando n=m ;

$\displaystyle \int_{0}^{L} cos(\frac{n \pi x}{L}) f(x) \, dx=a_n \frac{2}{L}$

Entonces,

$\displaystyle a_n= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x)cos(\frac{n \pi x}{L}) \, dx ;$

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{L} \displaystyle \int_{0}^{L} f(x) \, dx$

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